眾所周知，深度學習在實時視頻通信端到端系統(tǒng)里有很多的應用，比如說我們用它做超分辨率，能取得比較好的效果；我們用它做圖像恢復，也能取得比較好的效果。如果說提及挑戰(zhàn)的話，在支持移動端的應用里，我們必須考慮復雜性的限制，必須要以一個小的模型，能夠在移動平臺上實時運行，而且功耗、CPU 占比都得到合適的限制。另外應該在相對合理的數(shù)據集上取得比較好的學習效果，讓它的泛化能力很強。
簡單展示一下結果，我們用傳統(tǒng)的算法得到的效果通常比較模糊，基于深度學習的算法我們則能恢復出更多細節(jié)、甚至生成出一些細節(jié)。
從計算量來看，我們目前能做到把 480x360 放大到 960x720 在 iPhone6 的 GPU 上達到 120fps，使得復雜性得到比較有效的控制。
我們用生成對抗網絡的方式來做超分，生成對抗網絡最近兩三年比較熱，在人工智能學習算法的學術會議上，這兩年甚至達到了 2/3 以上的論文都是跟生成對抗網絡有關。生成對抗網絡通常包括一個生成器和一個判別器，生成器盡量模擬真實數(shù)據，要像真實數(shù)據一樣來欺騙判別器，讓判別器認為生成的數(shù)據是真實的，符合真實數(shù)據的分布。判別器的任務正好相反，它要盡量的讓生成的數(shù)據通不過考驗，這個標準越高，通不過的概率就越高。所以生成器和判別器在彼此的矛盾沖突中共同進步，最終達到判別器也判別不出來是真是假這樣一個程度。
生成器就是把一個隨機的分布，一個噪聲 Z，經過生成器之后產生一個圖像能跟真的很像。下圖形象地表示生成器在逼近真實數(shù)據的分布，綠色是這個模型產生的分布，在相互矛盾沖突之中逐漸達到真實數(shù)據就是黑色虛線的分布。Z，就是我剛才說的，比如說一個隨機變量，它能生成出我們想要的結果，從公式上說實際上生成器在做一件事，它是使判別器犯錯的概率最大，就是判別器分不出真假，分不出生成東西是假的，就是要讓它犯錯。
這個判別器，它是要首先最大化一個真實數(shù)據為真的這個概率，最小化生成器為真的概率就是我剛才說的矛盾沖突，用公式也是可以表示出來的。這個判別器的最佳解是有數(shù)學解的，就是達到納什均衡。把這兩個生成器和判別器綜合到一起就是一個價值函數(shù)的最大最小優(yōu)化。
這個有什么問題？這個生成器為了通過判別器的檢驗，就找了一些它比較好生成的模式來生成，所以訓練完之后比如就大概率生成 1，因為 1 很好通過，就是一豎，所以生成器的學習某種意義上會耍點小聰明，它會試圖學習那些最容易學的樣本，多產生一些容易判對的樣本，這就是生成器在做的情形，但這是不理想的情形。
換一個圖來看，比如分布是一個均勻的圓，生成器可能最后收斂到某一個地方，總收斂到某一個地方也總通過。判別器因為總通過，網絡狀態(tài)最后就收斂這么一個狀況。生成器比較難于生成這種多模態(tài)、有多個聚類的分布，我們把這個現(xiàn)象叫模式坍塌。
具體的挑戰(zhàn)涉及什么，我簡單說一下，我們怎么樣緩解這個模式坍塌，就是使得生成器別陷入耍小聰明騙過了判別器的狀態(tài)。第二是我們給定一個卷積神經網絡，它表現(xiàn)有多好、學習能力有多強。換句話問，我們給定一個深度學習的任務，深度卷積神經網絡能做到多小，還能達到比較好的效果。
為了降低模式坍塌出現(xiàn)的概率，首先通常會要求加一個局域的限制，要求生成器不僅要騙過判別器，而且要讓它帶有噪聲的輸入要像真實的樣本，這樣的話生成出來跟真實樣本不會差太多。就相當于在損失函數(shù)上，加了一項，生成的東西要跟目標像，即監(jiān)督學習。
再換一個角度看，實際上深度學習的神經網絡，它是一個流形，這個流形是一個拓撲空間，能把流形同胚映射到 N 維的實數(shù)空間，同胚映射的意思就是正映射和逆映射都是連續(xù)的。我簡單說一下這個概念，比如一個三維空間中的曲面，是一個二維的流形，從編碼的角度來說，它可以對應一個隱空間，隱空間是二維的，正映射是降維，是個編碼的過程，或者在分類的問題里我們會試圖在隱空間里分的更好。反過來講從隱空間到流形就是變成一個生成器，就是解碼的過程，從精簡的數(shù)據恢復到它看起來的外觀是我們希望的樣子。
這個曲面在三維空間，我們叫環(huán)境空間。Wasserstein 設計了一個生成對抗網絡其實也有很多層，到達十層的網絡。他要做的事情就是把兩個高斯分布：一個在零點，一個在 40×40 的地方，把分布學會。結果發(fā)現(xiàn)這個多達十層的一個深度學習網絡居然學不會，當收斂之后表現(xiàn)為橘色這些點，就是最后收斂的狀態(tài)。當數(shù)據分布有多個聚類或者多個峰值混合分布的時候，這樣的流形對生成對抗網絡是有挑戰(zhàn)的。
卷積神經網絡是什么？我們來看基于矯正的線性單元（ReLU）的卷積神經網絡， 它可以看成是一個分段線性的映射，我們看這幾個常用的激活函數(shù)其實都是分段線性，不管有參數(shù)還是隨機的，都是分段線性的一個映射。
所以這個流形就被這些分段線性的映射分成了很多子空間，分成很多小的立方體，所以這個流形經過編碼器之后就變成很多小空間，都是分段線性的，是多個小的多面體。
怎么理解這個模式坍塌是怎么來的？當編碼器 E，把流形 M 映射到隱空間 E（M）之后，它的分布往往是極其不均勻的，在這個不均勻的奇異分布里要進行分類或者控制都是很難的。提一個問題，我們是否能引入另外一個隱空間，它能映射到 Z，與生成器 G 復合起來 G*T，能把這個 Z’分布比較好比較均勻的分布映射回流形，這樣不管做分類，還是做采樣點的控制，都應該是比較容易的。丘成桐教授等做了一些分析工作，用最佳質量映射，能把我剛才說的立方體又較好地重新映射回去。
如果不做最佳質量映射，直接應用解碼器，會有問題。在編碼域上進行均勻的采樣（通常有規(guī)律的、比如均勻是我們最能掌握的，非均勻的東西我們很難控制得好），那么我把它重疊在編碼域的圖上，對這些采樣出來的點，如果直接用生成器（也是解碼器）重構，恢復出來這些點，放到原來的圖上，可以看到頭部非常稀疏，這個稀疏可以理解成在編碼以后的隱空間用這些均勻采樣點來解碼，很難解出在頭部也能均勻恢復的效果，這也是模式坍塌的一種。
如果加上這個最佳質量傳輸映射，在這個 Z’隱空間做均勻采樣，再恢復。就是剛才說的把最佳質量映射和生成器在一塊，恢復出來的效果就是比較均勻的。可以看到這個質量是會更好，所以這個最佳質量映射，能在均勻分布的隱空間上使得控制變得非常容易。
丘成桐教授等發(fā)現(xiàn)解碼器和編碼器在數(shù)學上有閉式公式可以關聯(lián)起來，簡單說只要有其中一個就可以推導出另外一個，這個在數(shù)學上是保證了的。有了這個結論，用到深度學習，就是只要訓練好其中一個，就通過幾何計算的方法來恢復出另外一個，不需要訓練另外一個，免除了數(shù)據的擔憂。但實際上高維空間中去推導最佳質量映射，是比較困難的，基本上在有限的計算資源下不太容易做到的。所以并沒有完全顛覆我們對深度神經網絡的認識。
這里有一個問題，這個最佳質量映射也可以通過深度神經網絡的方式來學習。第二個自然產生的問題，我們是不是要學兩次？我們能不能一次把這個復合映射學會？顯然這是很有實際意義的問題：有兩個模型把它合成一個模型。
再換一個視角來看模式坍塌，這個視角可能更好理解一點。舉例子來說，三維空間中有一個二維曲面，每一個點上有一個切面，對較為規(guī)范的流形來說這個切面應該是一個二維的平面，當這個二維的平面退化成一條線甚至是零維的一個點，這時候模式坍塌一定發(fā)生。因為退化成一條線的時候，在其法向量方向上，另外一個坐標軸再怎么變都不影響結果，這是模式坍塌。退化成零維的時候更是如此了。
我們可以在損失函數(shù)中加上另外一項懲罰項，這個懲罰項表示跟一個恒等矩陣的差，這一項加到損失函數(shù)里。它試圖使得切空間是滿秩的，不會退化到一維或者零維，這樣也能有效的減低模式坍塌的出現(xiàn)，這是從另外一個視角看這個問題。
下一個問題，如果給了一個基于矯正分段線性激活函數(shù)（ReLU）的卷積神經網絡的學習能力究竟能有多強？換句話說給定一個任務，我們能設計多小的一個神經網絡來完成任務？我們希望還是能限定它的復雜性，而不是完全開放式的摸索。這樣的話多少能給我們探索在移動設備上的深度學習算法，提供一些指導原則。
剛才我提到了編碼器和解碼器都是分段線性函數(shù)，解碼器把立方體分的更小，立方體越多越能把縫隙填滿，這個逼近的質量決定了編碼器和解碼器最終的效果。這個很容易理解，一條曲線如果用一段線逼近它和用四條線逼近它，四段肯定逼近的更好，甚至用更多線段來無窮逼近，這個當然對原來的曲線是有一定限定的，比如是凸曲面等等。
這個矯正的復雜度，一個分段映射的復雜性是表征逼近能力的一個度量。它定義成，在 N 維的時空間上，最大的連通子集數(shù)，在每一個連通子集上編碼器都是線性的，說穿了是分段線性。這是表征了這個解碼器的能力。一個 K+2 層的深度卷積神經網絡，由它所能表征的最復雜的分段線性映射來表征。
每一組不同的參數(shù)就定義了一組分段線性函數(shù)，當然參數(shù)不同的時候，它的能力不同。那么就有這么一個結論，深度神經網絡的復雜性是有上界的，這是一個很好的結論。如果我們知道我們要學習的任務，它的復雜性是高于這個上限的時候，我們這個深度神經網絡就設計得太小，肯定學不好。學不好有很多表現(xiàn)，比如泛化能力會比較差。不管你訓練多少樣本，你可能學到的分布跟實際數(shù)據的分布都是不一致的，都是有偏差的。我們可以想像在實際應用中，肯定有些數(shù)據的實際效果不是那么好。
同時，它也有一個下界，下界的理解比較簡單，某個權重，使得網絡復雜度最小的權重。
這樣深度卷積神經網絡的表征能力有上界也有下界，基本回答我剛才說的那個問題。我有幾點體會。一個是因為要求拓撲空間上來做同胚映射，這個限制其實是較強的制約，其實只能學比較簡單的幾個拓撲結構，不能學太復雜的東西，或者只能學一個局部，一個局部學的很好，全局學起來有困難。最佳質量映射，能夠有幫助，但在高維空間中計算出這個最佳質量映射，也算是一個比較挑戰(zhàn)的事。第三個結論，給定任何一個深度卷積神經網絡，一定能找到一個流形嵌入到這個它輸入的環(huán)境空間中，而它的分布不能被這個神經網絡學習。我們對模式坍塌是有一定辦法來緩解；對算法復雜性，我們能有一定的辦法，能使神經網絡的復雜性有所界定。
作者簡介：鐘聲，現(xiàn)任聲網首席科學家，北京大學數(shù)學系本科和博士畢業(yè)，美國馬里蘭大學自動化研究中心博士后。約有 100 項發(fā)明專利（包括 60 多項美國發(fā)明專利和 30 多項中國發(fā)明）專利。曾是 MPEG/JVT （H.264） 與 INCITS 主要成員，IEEE 成員，并發(fā)表了 30 余篇學術論文，內容覆蓋了模式識別、視頻編解碼、計算機視覺等技術領域。曾任美國博通公司資深主任科學家和技術總監(jiān)、華亞微電子公司技術副總裁、海信集團芯片公司總經理等職。
